Tugas Statistika Ahmad Sudarmanto

1. Distribusi Normal

Distribusi normal menggunakan variabel acak kontinu. Distribusi normal sering disebut DISTRIBUSI GAUSS. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling penting dan banyak digunakan. Distribusi ini menyerupai BENTUK LONCENG (BELL SHAPE) dengan nilai rata-rata X sebagai sumbu simetrisnya.

Variabel acak kontinu x mempunyai fungsi densitas pada X = x dinyatakn dengan persamaan :

Dengan :

p = Nila konstan yang ditulis hingga 4 desimal p = 3,1316

e = Bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183

µ = Parameter, merupakan rata-rata untuk distribusi

σ = Parameter, merupakan simpangan baku untuk distibusi

Jika nilai x mempunyai btas nilai ⎼∞<x<∞, maka dikatakan bahwa variabel acak X berdistribusi normal.

Sifat-sifat penting dari distribusi Normal adalah :

· Grafik selalu diatas sumbu-X (horisontal)

· Bentuk simetris terhadap sumbu-Y pada X = µ

· Mempunyai modus pada X = µ sebesar 0,3989/ σ

· Grafik mendekati sumbu X pada X = µ-3 µ dan X = µ+3µ

· Kurva normal digunakan sebagai acuan pengujian hipotesis jika ukuran sempel n≥30

· Luas daerah yang dibatasi oleh smbu-X dan kurva normal sama dengan satu satuan luas

Untuk tiap pasang μ dan σ, sifat-sifat di atas selalu dipenuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar, kurvanya makin rendah (platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

untuk megubah Distribusi Normal Umum menjadi Distribusi Normal Baku di gunakan rumus :

Perubahan grafik dapat dilihat dalam gambar berikut :

Fenomena distribusi data normal :

• Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata- rata, yaitu antara μ - σ dan μ + σ.

• Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata- rata, yaitu antara μ - 2σ dan μ + 2σ.

• Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan baku sekitar rata- rata, yaitu antara μ - 3σ dan μ + 3σ.

Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh perbedaan rentangan nilai dan simpangan baku ada tiga macam:

1. Leptokurtik, merupakan bentuk kurva normal yang meruncing tinggi karena perbedaan frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

2. Platykurtic, merupakan kurva normal yang mendatar rendah karena perbedaan frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

3. Normal, merupakan bentuk kurva normal yang biasa, artinya bentuknya merupakan bentuk antara leptokurtic dan platykurtic, karena penyebaran skor biasa dan tidak terjadi kejutan-kejutan yang berati.

2. Distribusi F

Merupakan distribusi variabel acak Kontinu. Fungsi densitasnya mempunyai persamaan :

Dimana :

F = Variabel acak yang memenuhi F>0

K = bilanan tetap yang harganya pada derajat kebebasan v₁dan v₂

V₁= Derajat kebebasan antara varians rata-rata sampel (sebagai pembilang)

V₂ = derajat kebebasan dalam keseluruhan sampel (sebagai penyebut)

Luas dibawah kurva satu.

Daftar distribusi normal berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan

derajat kekebasan v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang

diarsir, sedangkan derajat kekebasan pembilang (v1 ) ada pada baris paling atas dan

derajat kebebasan penyebut (v2) pada kolom paling kiri.

Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan dk = (v1,v2) adalah Fp(v1,v2). Demikianlah untuk contoh kita didapat :

F_0.05(24,8) = 3.12 dan F_0,01(24,8 )= 5.28.

Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0.05 dan p = 0.01, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95. Untuk ini digunakan hubungan :

Dalam rumus diatas perhatikan antara p dan (1- p) dan pertukaran antara derajat kebebasan (v_1,v₂) menjadi (v₂, v₁).

3. Distribusi T

Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya selain dari distribusi normal ialah DISTRIBUSI STUDENT ATAU DISTRIBUSI - t. Fungsi densitasnya adalah :

Berlaku untuk harga-harga t yang memenuhi ⎼∞<t<∞ K merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu unit.

Pada distribusi t ini terdapat bilangan (n-1) yang dinamakan derajat kebebasan, akan disingkat dengan dk.

Bentuk kurva-t identik dengan bentuk kurva normal, tetapi kurtosisnya ditentukan oleh besar kecilnya derajat kebebasan df. Untuk n ≥ 30 pola distribusi t mendekati pola distribusi normal.

Dalam tabel distribusi-t kolom paling kiri berisikan derajat kebebasan (dk), baris teratas berisikan nilai peluang.

Gambar dibawah ini merupakan grafik distribusi-t dengan dk = ( n – 1 ). Luas bagian yang diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh tp. Harga tp inilah yang dicari dari daftar untuk pasangan dk dan p yang diberikan.

Daftar pustaka

Irianto, Agus. 2008. Statistik Konsep Dasar dan Aplikasinya. Jakarta: Kencana.

Hasan, Iqbal. 2006. Analisis Data Penelitian dengan Statistik. Jakarta: Bumi Aksara.

Riduwan. Dasar-Dasar Statistika. 2005. Bandung : Alfabeta.

Sudjana. 2002. Metoda Statistika edisi ke 6. Bandung: Tarsito.

Tedjo N Raksonoatmodjo. 2009. Statistika Teknik. Jakarta : Refilka Aditama

1. MOMEN

Misalkan diberikan variable x dengan harga-harga: x1, x2, …., xn. Jika A = sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, ……., n, maka momen ke-r sekitar A, disingkat mr, didefinisikan oleh hubungan:

(1) ……………………………

Untuk A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r:

(2) ..............................

Dari rumus (2), maka untuk r = 1 didapat rata-rata

. Jika A =

kita perolehmomen ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat dengan mr. Jadi didapat:

(3) …………………………...

Untuk r = 2, rumus (3) memberikan varians s²

Untuk membedakan apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, maka dipakai simbul: m_r dan m_r^’ untuk momen sampel dan µr dan µ_r^’ untuk momen populasi.

Jadi, m_r dan m_r^’ adalah statistik sedangkan µr dan µ_r^’merupakan parameter. Jika data telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka rumus-rumus di

atas berturut-turut berbentuk:

(4) ………………………..

(5) ………………………..

(6) ………………………..

dengan n = ∑f_i, x_i = tanda kelas interval dan f_i = frekuensi yang sesuai dengan xi.

Dengan menggunakan cara sandi, rumus 4 menjadi:

(7) ………………………

Dengan, p = panjang kelas interval, c_i = variabel sandi

Dari m_r^’, harga-harga m_r untuk beberapa harga r, dapat ditentukan berdasarkan hubungan:

m₂= m₂^’ – (m₁^’)²

m₃= m₃^’ – 3m₁^’m₂^’ + 2(m₁^’)³

m₄= m₄^’ - 4 m₁^’m₃^’ + 6(m₁^’)² m₂^’ - 3(m₁^’)⁴

contoh untung menghitung 4 buah momen sekitar rata-rata untk data dalam daftar distribusi frekuensi sbb:

2. kemiringan

Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan

atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan

memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya

sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng.

Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri

maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif.

Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke

kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.

Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng

positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).

Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut :

1. Koefisien Kemencengan Pearson

Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan :

Sk = koefisien kemencengan pearson

Aoabila secar empiris didapatkan hubungan antarnilai pusat sebagai:

Maka rumus kemenccengan diatas dapat dirubah menjadi:

Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka:

Sk =0 kurva memiliki bentuk simetris

Sk>0 Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan (

terletak di sebelah kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif;

sk< 0 Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri (

terletak di sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.

Contoh soal :

Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas.

Nilai Ujian Statistika pada Semester 2, 2010

a) Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) !

b) Gambarlah kurvanya !

Penyelesaian:

Oleh karena nilai sk-nya negatif (-0,46) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.

b. Gambar kurvanya :

2. Koefisien Kemencengan Bowley

Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1, Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan :

Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien

Kemencengan.Apabila nilai sk_B dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1) Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secara

positif.

2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara

negatif.

3) sk_Bpositif, berarti distribusi mencengke kanan.

4) sk_B negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri.

5) sk_B = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan sk_B> 0,30

menggambarkan kurva yang menceng berarti.

Contoh soal :

Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut :

Nilai Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997

Penyelesaian :

Kelas Q₁ = kelas ke -3

Karena sk_B negatif (=−0,06) maka kurva menceng ke kiri dengan kemencengan yang berarti.

3. Koefisien Kemencengan Persentil

Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P₉₀,P₅₀ dan P₁₀) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil dirumuskan :\

Keterangan :

sk_P = koefisien kemecengan persentil , P = persentil

4. Keofisien Kemencengan Momen

Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3

dengan pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen dilambangkan

dengan α₃. Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.

Apabila nilai α₃dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1) Untuk distribusi simetris (normal), nilai α₃= 0,

2) Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α₃ = positif,

3) Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α₃= negatif,

4) Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α₃> ±0,50 adalah distribusi

yang sangat menceng

5) Menurut Kenney dan Keeping, nilai α₃ bervariasi antara ± 2 bagi distribusi yang menceng.

Untuk mencari nilai α₃, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

a. Untuk data tunggal

Koefisien Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan :

α₃ = koefisien kemencengan momen

b. Untuk data berkelompok

Koefisien kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan :

5. KERUNCINGAN ATAU KURTOSIS

Keruncingan atau kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secararelatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut :

1) Leptokurtik

Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.

2) Platikurtik

Merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar

3) Mesokurtik

Merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar

Bila distribusi merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik ianggap sebagai distribusi normal.